Generalization of Multi-dimensional Polygonal Numbers

Year 2022, Volume: 9 Issue: 2, 75 - 94, 31.12.2022

Mehmet Akif Şahin , Berkay Semiz , Esra İnan

https://doi.org/10.48138/cjo.895375

Abstract

In this study, the construction of polygonal numbers in higher dimensional spaces was studied, based on the creation of triangular, tetragonal, pentagonal, hexagonal and more generally polygonal numbers in two- three- and four dimensional spaces. Polygonal numbers in multidimensional space are geometrically associated by taking their projections into three-dimensional space. Furthermore, the general term of the number sequence was calculated by constructing polygonal geometric numbers in k-dimensional space, with k being a natural number. This generalization method was expressed in a theorem and proved by using the induction method. In addition, a program developed with JavaScript language was created using the method obtained by using the generalization rule to draw each term of each polygonal number in different dimensions. Projections of polygonal numbers in 4-dimensional and higher-dimensional spaces into 3-dimensional space were drawn through program. As a result, polygonal number sequences in multidimensional spaces were generalized by an original method using the Pascal triangle, and each term in each dimensional space was expressed algorithmically and examined in terms of the number of points added in dimension increase. Through this method, showing the number of points that are different (added) in each dimensional space in the figures with a table, an appropriate relationship with the generalization method was obtained.

Keywords

Multi-dimensional numbers, polygonal numbers, Pascal’s triangle, algorithm

Çok Boyutlu Uzaylarda Çokgensel Sayı Dizisinin Genelleştirilmesi

Abstract

Bu çalışmada, iki, üç ve dört boyutlu uzaylarda alanyazında yer alan üçgensel, karesel, beşgensel, altıgensel ve daha genel olarak çokgensel sayıların oluşturulmasından yola çıkılarak, daha yüksek boyutlu uzaylarda çokgensel sayıların inşası üzerine çalışılmıştır. Şekilsel olarak çok boyutlu uzayda çokgensel geometrik sayılar, üç boyutlu uzaya izdüşümleri alınarak ilişkilendirilmiştir. Ayrıca 𝑘 bir doğal sayı olmak üzere 𝑘-boyutlu uzayda çokgensel geometrik sayılar inşa edilerek sayı dizisinin genel terimi hesaplanmıştır. Bu genelleştirme yöntemi teorem halinde ifade edilip tümevarım yöntemi kullanılarak ispatlanmıştır. Ayrıca her bir çokgensel sayının her terimini farklı boyutlarda çizmek için genelleştirme kuralından yararlanarak elde edilen yöntem JavaScript programlama dili yardımıyla bilgisayara anlatılıp 2., 3. boyuttaki çokgensel sayılar oluşturulmuş ve görselleri çizdirilmiştir. 4. boyut ve daha üst boyuttaki çokgensel sayıların ise 3. boyuta izdüşümleri, yazılan program ile gösterilmiştir. Sonuç olarak çok boyutlu çokgensel sayı dizisinin Pascal üçgeni kullanılarak özgün bir yöntemle genelleştirilmesi ve her boyuttaki her terimin algoritmanın sıralı adımları kullanılarak programlama diliyle ifade edilip terimlerinin şekilsel ve eklenen nokta sayısı bakımından incelenmesi sağlanmıştır. Bu yöntem ile şekillerde her boyutta farklı olan (eklenen) nokta sayısı tablo ile gösterilerek genelleştirme yöntemine uygun bir ilişki elde edilmiştir.

Keywords

Çok boyutlu sayılar, çokgensel sayılar, Pascal üçgeni, algoritma

References

• Referans1 Conway, J. H., Guy, R. K. (1996). The Book of Numbers. New York: Springer-Verlag.
• Referans2 Deza, E., Deza, M. M. (2012). Figurate Numbers. First Edition, World Scientific.
• Referans3 Eren, Y. (2015). Binom Katsayılarının Bazı Genelleştirmeleri. (Yayımlanmış yüksek lisans tezi). Kırıkkale Üniversitesi/Fen Bilimleri Enstitüsü, Kırıkkkale.
• Referans4 Karaatlı, O. (2010). Üçgensel Sayılar. (Yayımlanmış yüksek lisans tezi). Sakarya Üniversitesi/ Fen Bilimleri Enstitüsü, Sakarya.
• Referans5 Şahin, M. (2016). Farklı Boyutlarda Geometrik Sayılar. Erişim adresi: https://www.academia.edu/37138626/Farkl%C4%B1_Boyutlarda_Geometrik_Say%C4%B1lar
• Referans6 Ural, A. (2011). Matematik öğretmen adaylarının boyut ölçütleri. Pamukkale Üniversitesi Eğitim Fakültesi Dergisi, 30, 13-25. Erişim adresi: https://dergipark.org.tr/download/article-file/114574