Sürekli Ortamlar Mekaniğinin Bünye Denklemlerinin Belirlenmesinde İnvaryantların Kullanılması

Yıl 2023, Cilt: 6 Sayı: 1, 102 - 123, 13.07.2023

Bekir Aksoy , Mustafa Usal

Öz

Mühendislik malzemelerinin bünye denklemleri ve bu bağıntılardaki invaryant parametreler çağdaş sürekli ortamlar mekaniğine gittikçe artan bir öneme ve anahtar bir role sahip olmaktadır. Bir sürekli ortamın davranışını matematiksel olarak ifade edebilmek için serbest enerjisinin herhangi hangi argümanlara bağlı olduğunu ifade ettikten sonra, bu argümanların invaryant formlarını tespit etmek gerekir. Bu argümanlar genellikle simetrik ve veya anti simetrik matrisler ya da polar vektörler şeklinde ortaya çıkmaktadır. Gerçekleştirilen çalışmada vektörlerin ve tensörün invaryantları, indirilebilen ve indirgenemeyen invaryantlar ve ayrıca tamlık bazıları incelenmiştir. Özellikle simetrik matrislere ait invaryant değerlerin belirlenmesi üzerinde durulmuştur. İnvaryantlar teorisinde ana problem: diğer bütün unvanların invaryantların onlardan üretildiği ve verilen bir vektör ve tensörler cümlesi için fazla eleman içermeyen temel bir invaryant cümlesini tespit etmektir. Çalışmada Cayley-Hamilton teoreminin invaryantlar teorisini nasıl kullanıldığını detaylı bir biçimde açıklanmıştır. Uygun ortogonal grup için tamlık bazlarını oluşturan matris çarpımlarının traceleri dört adet simetrik matris için çizelge halinde verilmiştir. Simetrik matrislerin invaryant değerlerini hesaplamak için MATLAB programının nasıl kullanıldığı ifade edilmiştir. Son olarak bünye denklemlerinin invaryant değerlerinin nasıl yer aldığını göstermek için izotropik hiperelastik bir ortam seçilmiştir.

Anahtar Kelimeler

Anizotropi, Bünye Denklemleri, İnvaryantlar, İzotropi, Ortogonal Gruplar, Tamlık Bazları, MATLAB Programlama

Kaynakça

• [1] Spencer, A. J. M. (1971). Theory of invariants. Continuum Physics, Vol. I, Ed. A. Cemal Eringen. Academic Press. New York. s.239-353.
• [2] Eringen, A.C. (1980). Mechanics of continua. Robert E. Krieger Publishing Co., Huntington, New York. s.606
• [3] Şuhubi, E.S. (1994) Sürekli Ortamlar Mekaniği Giriş, İ.T.Ü. Fen Edebiyat Fakültesi Yayını. S.243.
• [4] Rivlin, R. S., Ericksen, J. L. (1997). Stress-deformation relations for isotropic materials. Collected Papers of RS Rivlin Minneapolis. s.911-1013.
• [5] Spencer, A. J. M., Rivlin, R. S. (1959). Further results in the theory of matrix polynomials. Archive for rational mechanics and analysis, 4(1), 214-230.
• [6] Adkins, J. E. (1960). Symmetry relations for orthotropic and transversely isotropic materials. Archive for Rational Mechanics and Analysis, 4(1), 193-213.
• [7] Adkins, J. E. (1960). Further symmetry relations for transversely isotropic materials. Archive for Rational Mechanics and Analysis, 5(1), 263-274.
• [8] Korkmaz, A. H. (2009). Fiber takviyeli elastik malzemelerin sürekli ortam hasar mekaniğine dayalı bünye denklemlerinin modellenmesi, Yüksek Lisans Tezi, 106.
• [9] Usal, M.R. (2006). Elastik Dielektrik Malzemelerin Sürekli Ortam Hasar Mekaniği. Süleyman Demirel Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Dergisi, 10(3), 465-475.