Similar Characteristics of Similar Series

Yıl 2019, , 65 - 85, 31.12.2019

Ecesu Duman

https://doi.org/10.37215/bilar.2019257651

Öz

One of the most important subjects of mathematics is sequences; and one of the most striking series
is Fibonacci series. The purpose of this study is to create series similar to Fibonacci series and to
investigate whether these series have characteristics similar to those of Fibonacci series; and to prove
these characteristics, if any. As is known, in Fibonacci, each term is equal to the sum of the two preceding
terms. In this study, the series formed by one of two terms or both terms before each term are multiplied
by natural numbers greater than 1 and then summed, were discussed. As a result, three different series
families were formed. In the first family, the series were taken in which each term was equal to the sum of
k-fold of (k=2,3,…) the previous term and the two previous terms. In the second family, series were taken
in which each term was equal to the sum of the previous term and the k-fold of (k=2,3,…) the two previous
terms. In the third family, series were taken in which each term was equal to the sum of k-fold of (k=2,3,…)
the previous term and k-fold of (k=2,3,…) the two previous terms. It is seen that some of these series have
been studied in the literature. In this study, unlike other studies, seven characteristics which are valid in
Fibonacci series were taken as basis and then similar characteristics were searched in the generated series.
6 series were studied by taking 2 from each family. As a result of the studies, it was observed that these
series bear similar characteristics to those of Fibonacci series. 42 characteristics were obtained on these
series and were proved. In addition, it was observed that there were similarities in terms of formation as
well as similarities between the obtained characteristics that would enable generalization. 

Anahtar Kelimeler

Series, Fibonacci, Characteristics of series, Proof

Benzer Dizilerin Benzer Özellikleri

Öz

Matematiğin en önemli konularından biri diziler; dizilerin en dikkat çekenlerinden biri de Fibonacci
dizisidir. Bu çalışmanın amacı, Fibonacci dizisine benzer diziler oluşturup bu dizilerin Fibonacci dizisinin
özelliklerine benzer özellikleri olup olmadığını araştırmak ve varsa bu özellikleri ispatlamaktır. Bilindiği
gibi Fibonacci dizisinde her bir terim, kendisinden önceki iki terimin toplamına eşittir. Bu çalışmada ise,
her bir terimin kendinden önceki iki terimden birinin veya her ikisinin 1’den büyük doğal sayılarla çarpılıp
sonrasında toplanmasıyla oluşan diziler ele alınmıştır. Böylece üç farklı dizi ailesi oluşturulmuştur. Birinci
ailede, her bir terimin kendisinden önceki terimin k katı (k=2,3,…) ile ondan önceki terimin toplamına
eşit olduğu diziler alındı. İkinci ailede, her bir terimin kendisinden önceki terim ile ondan önceki terimin
k katının (k=2,3,…) toplamına eşit olduğu diziler alındı. Üçüncü ailede ise her bir terimin kendisinden
önceki terimin k katı (k=2,3,…) ile ondan önceki terimin k katının (k=2,3,…) toplamına eşit olduğu
diziler alındı. Literatürde bu dizilerden bazılarıyla ilgili çalışıldığı görülmektedir. Bu çalışmada diğer
çalışmalardan farklı olarak, Fibonacci dizisinde geçerli olan 7 özellik temele alındı ve bu özelliklerin
benzerleri oluşturulan dizilerde arandı. Her bir dizi ailesinden 2’şer tane olmak üzere 6 dizi üzerinde
çalışıldı. Çalışmalar sonunda bu dizilerin de Fibonacci dizisindekilere benzer özellikleri sağladığı
görülmüştür. Diziler üzerinde 42 özellik elde edilmiş ve bu özellikler ispatlanmıştır. Ayrıca dizilerin
oluşum açısından benzerliği olduğu gibi elde edilen özellikler arasında da genellemeye imkân verecek
benzerlikler olduğu görülmüştür.

Anahtar Kelimeler

Dizi, Fibonacci, Dizi özellikleri, İspat

Kaynakça

• Altun,İ. (2016). “Genelleştirilmiş Fibonacci ve Lucas Polinomlarında Yeni Bir Aile”. Yüksek Lisans Tezi, Erzincan Üniversitesi, Erzincan-Türkiye.
• Argün, Z., Arıkan, A., Bulut, S., Halıcıoğlu, S. (2014). Temel Matematik Kavramlarının Künyesi: Gazi Kitabevi. Ankara-Türkiye.
• Bolat, C. (2008). “k-Fibonacci, k-Lucas Sayılarının Özellikleri ve Uygulamaları”. Yüksek Lisans Tezi, Selçuk Üniversitesi. Konya-Türkiye.
• Güleç,H.H. (2014). “Pell Matris Dizileri ve Özellikleri”. Doktora Tezi, Selçuk Üniversitesi. Konya-Türkiye.
• Köken, F. (2008). “Jacobsthal ve Jacobsthal Lucas Sayılarının Özelllikleri ve Uygulamaları”. Yüksek Lisans Tezi, Selçuk Üniversitesi. Konya-Türkiye.
• Maksudov, F. ve Veliev, C. (1993) “Fibonacci sayıları hakkında bir kural”. Matematik Dünyası Dergisi, 4:14 Erişim adresi: http://www.matematikdunyasi. org/arsiv/PDF_eskisayilar/92_4_14_16_FIBONACCI.pdf Son Erişim Tarihi: 02.10.2018.
• Pappas, T. (2007). Yaşayan Matematik: Doruk Yayıncılık. İstanbul-Türkiye.