Kapalı Formda Temsil Edilen Cebirsel Düzlem Eğrilerinin İzometrileri ve Simetrilerinin Hesaplanması

Yıl 2023, Cilt: 39 Sayı: 2, 303 - 314, 31.08.2023

Hüsnü Anil Çoban , Uğur Gözütok

Öz

Bu çalışmada, kapalı formda temsil edilen cebirsel düzlem eğrilerinin izometrilerinin ve simetrilerinin hesaplanması için yeni ve etkili bir algoritma sunulmaktadır. Makalede inşa edilecek metot iki kısımdan oluşmaktadır. Metodun birinci kısmı, problemi, orijini sabitleyen izometrilere indirgerken, diğer kısımda eğrilerin denk olmasını sağlayan izometrilerin tespiti yapılmaktadır. Girdi eğrilerinin özdeş olması durumunda metot, kapalı formda temsil edilen bir cebirsel düzlem eğrisinin tüm simetrilerini tespit etmektedir. Metodun etkinliğine kanıt oluşturacak testler yürütülmesi için, oluşturulan algoritma, Maple bilgisayar cebir sistemi kullanılarak implement edilmiştir.

Anahtar Kelimeler

Cebirsel eğriler, İzometriler, Simetriler

Computing Isometries and Symmetries of Implicit Plane Algebraic Curves

Öz

In this study, we present a new and efficient algorithm to compute the isometries and symmetries of implicit plane algebraic curves. The method to be constructed in the article consists of two parts. The first part of the method reduces the problem to isometries fixing the origin, while the other part determines the isometries between the curves. If the input curves are identical, the method detects all the symmetries of an implicit plane algebraic curve. We have implemented the algorithm in the computer algebra system Maple to run tests providing evidences of the efficiency of the method.

Anahtar Kelimeler

Keywords Algebraic curves, Isometries, Symmetires

Kaynakça

• [1] Alcázar, J.G., Hermoso, C., Muntingh G. 2015. Symmetry detection of rational space curves from their curvature and torsion. Computer Aided Geometric Design, 33, 51–65.
• [2] Alcázar, J.G., Lávička, M., Vršek, J. 2019. Symmetries and similarities of planar algebraic curves using harmonic polynomials. Journal of Computational and Applied Mathematics, 357, 302–318.
• [3] Alcázar, J.G., Díaz Toca, G.M., Hermoso, C. 2019. On the problem of detecting when two implicit plane algebraic curves are similar. International Journal of Algebra and Computation, 29(5), 775–793.
• [4] Alcázar, J.G., Quintero, E. 2020. Affine equivalences of trigonometric curves. Acta Applicandae Mathematicae, 170, 691-708.
• [5] Alcázar, J.G., Quintero, E. 2020. Affine equivalences, isometries and symmetries of ruled rational surfaces. Journal of Computational and Applied Mathematics, 364, 112339.
• [6] Alcázar, J.G., Hermoso, C. 2021. Computing projective equivalences of planar curves birationally equivalent to elliptic and hyperelliptic curves. Computer Aided Geometric Design, 91, 102048.
• [7] Alcázar, J.G., Gözütok, U., Çoban, H.A., Hermoso, C. 2022. Detecting affine equivalences between implicit planar algebraic curves. Acta Applicandae Mathematicae, 182, 2.
• [8] Alcázar, J.G., Lávička, M., Vršek, J. 2023. Computing symmetries of implicit algebraic surfaces. Computer Aided Geometric Design, 104, 102221.
• [9] Bizzarri M., Lávička, M., Vršek, J. 2020. Computing projective equivalences of special algebraic varieties. Journal of Computational and Applied Mathematics, 367, 112438.
• [10] Coxeter, H.S.M. 1969, Introduction to Geometry. 2. Ed., Wiley, 496s.
• [11] Hauer, M., Jüttler, B., Schicho, J. 2018. Projective and affine symmetries and equivalences of rational and polynomial surfaces. Journal of Computational and Applied Mathematics, 349, 424–437.
• [12] Jüttler, B., Lubbes, N., Schicho J. 2022. Projective isomorphisms between rational surfaces. Journal of Algebra, 594, 571–596.
• [13] Gözütok, U., Çoban, H.A., Sağıroğlu, Y., Alcázar, J.G. 2023. A new method to detect projective equivalences and symmetries of rational 3D curves. Journal of Computational and Applied Mathematics Vol. 419, 114782.
• [14] Maple, 2022. Maplesoft, a division of Waterloo Maple Inc. Waterloo, Ontario.
• [15] https://www.ugurgozutok.com/
• [16] Pençe, İ. 2012. El yazısı karakterlerinin kapalı cebirsel eğrilerle modellenmesi ve sınıflandırılması. Süleyman Demirel Üniversitesi, Fen Bilimleri Enstitüsü, Bilgisayar Mühendisliği Anabilim Dalı, Yüksek Lisans Tezi, 68s. Isparta.
• [17] Yöndem, K.B. 2005. Different approaches on the implementation of implicit polynomials in visual tracking, Mühendislik ve Fen Bilimleri Enstitüsü, Bilgisayar Mühendisliği Anabilim Dalı, Yüksek Lisans Tezi, 68s. İstanbul.