Matematik Öğretmen Adaylarının Sayılabilirlik Kavramına Yönelik İspat Şemalarının İncelenmesi

Year 2018, Volume: 12 Issue: 2, 136 - 166, 31.12.2018

Ozan Pala , Serkan Narlı

https://doi.org/10.17522/balikesirnef.506425

Cited By: 2

Abstract

Bu çalışmada matematik
öğretmen adaylarının sonsuzluk kavramına dair yaklaşımlarının bir boyutunu
oluşturan sayılabilirlik kavramına odaklanılmış ve bu kavrama ilişkin ispat
şemalarının incelenmesi amaçlanmıştır. Nitel türde ve betimsel olarak
tasarlanan araştırmanın çalışma grubunu bir devlet üniversitesinde 2. sınıfa
devam eden 100 matematik öğretmen adayı oluşturmuştur. Katılımcılar, Cantor
Küme Teorisi’ne ait konuların ele alındığı bir ders sürecinde 5 hafta boyunca
gözlemlenmiş ve sürecin sonunda sonsuz kümelerin denkliğine dair ispatlardan
oluşan bir formda yer alan sorulara bireysel olarak yanıt vermişlerdir. Veriler
hem betimsel analiz hem de içerik analizi ile incelenmiştir. Böylece hem sahip
olunan ispat şemaları hem de belirli bir şemaya sahip olan bireylerin ispatlama
yaklaşımları belirlenmiştir. Çalışma sonucunda öğretmen adaylarının büyük
kısmının birebir-örten eşleme yaklaşımına dayanan formel bir ispatı
oluşturamadıkları görülmüştür. Ayrıca, bireylerin kavramsal anlayışları ile
onların ispatlarında önemli bir boyutu oluşturan “ikna” bileşeni arasında önemli
bir ilişkinin olduğu da belirlenmiştir. Ulaşılan bulgular, tablolar ve örnekler
ile detaylandırılmıştır.

Keywords

Sonsuzluk, Sayılabilirlik, İspat, İspat Şemaları, Matematik Eğitimi

Examining Proof Schemes of Prospective Mathematics Teachers Towards Countability Concept

Abstract

In this study it was focused to concept
of countability, which compose a part of prospective teachers’ understanding of
the infinity concept, and it was aimed to examine prospective teachers proof
schemas in proving activities including this concept. Case study method, which
is one of qualitative research approaches, was used. Also convenience sampling
method was preferred. For that purpose, 100 sophomore prospective mathematics
teachers studying a state university included the research. After a course
period, they were asked to prove some theorems about equivalence of infinite
sets. Their answers were examined both descriptive and content analyses. As a
result of these process it
was identified that majority part them (%91) couldn't reach the formal proof.
Also, it was identified that different proof schemas emerged in relation to
proving process. In addition, it was seen that most of the prospective
teachers (%51) have Empirical Proof Schemes and Analytical Schemas are least
observed (%17) scheme. 

Keywords

Infinity, Countability, Proof, Proof Schemes, Mathematics Education

References

• Akbulut, K. ve Akgün, L. (2005). Matematik ve Sonsuzluk. Kazım Karabekir Eğitim Fakültesi Dergisi. Sayı 11, 548-559.
• Alcock, L., ve Weber, K. (2005). Proof validation in real analysis: Inferring and checking warrants. Journal of Mathematical Behavior, 24, 125–134. http://dx.doi.org/10.1016/j.jmathb.2005.03.003
• Allen, G. D. (2000). The history of infinity.
• http://www.math.tamu.edu/~dallen/masters/infinity/infinity.pdf 26.08. 2018 tarihinde erişilmiştir.
• Antonini, S. ve Mariotti, M.A. (2007). Indirect proof: an interpreting model. In Proceedings of the 5th CERME Conference, Larnaca, Cyprus, 2007, pp. 541-550.
• Aztekin, S. (2013). Matematiksel bir kavram olarak sonsuzluk ve ötesi. İ. Ö. Zembat, M. F. Özmantar, E. Bingölbali, H. Şandır ve A. Delice (Edt.), Tanımları ve Tarihsel Gelişimleriyle Matematiksel Kavramlar (ss. 500-516) (1. Baskı). Ankara: Pegem Akademi.
• Bozkuş, F. (2014). Ortaokul öğrencilerinin sonsuzluk kavrayışları. Yayınlanmış Yüksek Lisans Tezi. Bolu: Abant İzzet Baysal Üniversitesi Eğitim Bilimleri Enstitüsü. http://tez.yok.gov.tr/ adresinden edinilmiştir.
• Bozkuş, F., Toluk-Uçar, Z. ve Çetin, İ. (2015). Ortaokul öğrencilerinin sonsuzluğu kavrayışları. Türk Bilgisayar ve Matematik Eğitimi Dergisi, 6(3), 506-531.
• Büyüköztürk, Ş., Kılıç Çakmak, E., Akgün, Ö.E., Karadeniz, Ş. ve Demirel, F. (2018). Bilimsel araştırma yöntemleri (24. Baskı). Ankara: Pegem Yayınları.
• Clark, M. (2002). Paradoxes from A to Z, New York, NY: Routledge.
• Çelik, D. ve Akşan, E. (2013). Matematik öğretmen adaylarının sonsuzluk, belirsizlik ve tanımsızlık kavramlarına ilişkin anlamları. Necatibey Eğitim Fakültesi Elektronik Fen ve Matematik Eğitimi Dergisi, 7(1), 166-190.
• Çontay, E. G. (2017). Ortaokul Matematik Öğretmeni Adaylarının İspat Şemaları. Yayınlanmış Doktora Tezi. Denizli: Pamukkale Üniversitesi Eğitim Bilimleri Enstitüsü. http://tez.yok.gov.tr/ adresinden edinilmiştir.
• Dede, Y., ve Karakuş, F. (2014). Matematiksel ispat kavramına pedagojik bir bakış: Kuramsal bir çalışma. Adıyaman Üniversitesi Eğitim Bilimleri Dergisi, 4(7), 47-71.
• Doruk, M. ve Kaplan, A. (2017). İlköğretim Matematik Öğretmeni Adaylarının Analiz Alanında Yaptıkları İspatların Özellikleri. Mehmet Akif Ersoy Üniversitesi Eğitim Fakültesi Dergisi, Sayı: 44, 467-498
• Dreyfus, T. (1999). Why Johnny can’t prove. Educational Studies in Mathematics, 38, 85-109.
• Dubinsky, E., Weller, K., Mcdonald, M. A. ve Brown, A. (2005). Some historical issues and paradoxes regarding the concept of infinity: An Apos-Based analysis: Part 1. Educational Studies in Mathematics, 58 (3), 335-359.
• Fischbein, E., Tirosh, D. ve Hess, P. (1979). The intuition of infinity. Educational Studies in Mathematics, 10(1), 3-40.
• Fischbein, E. (2001). Tacit models and infinity. Educational Studies in Mathematics, 48(2-3), 309-329.
• Güler, G., Özdemir, E., ve Dikici, R. (2012). Öğretmen adaylarının matematiksel tümevarım yoluyla ispat becerileri ve matematiksel ispat hakkındaki görüşleri. Kastamonu Eğitim Dergisi, 20(1), 219–236.
• Güler, G. ve Ekmekçi, S. (2016). Matematik öğretmeni adaylarının ispat değerlendirme becerilerinin incelenmesi: Ardışık tek sayıların toplamı örneği. Bayburt Eğitim Fakültesi Dergisi, 11(1), 59-83.
• Güney, Z. ve Özkoç, M. (2015). Soyut Matematik, İzmir: Dinozor Kitabevi.
• Güven, B. ve Karataş, İ. (2004). Sonsuz kümelerin karşılaştırılması: öğrencilerin kullandığı yöntemler. Dokuz Eylül Üniversitesi Buca Eğitim Fakültesi Dergisi, 15, 65 -73.
• Hanna, G. (2000). Proof, explanation and exploration: An overview. Educational Studies in Mathematics, 44(1-2), 5-23.
• Harel, G. (2001). The development of mathematical induction as a proof scheme: A model for DNR-based instruction. In S. Campbell ve R. Zazkis (Eds.), The learning and teaching of number theory (pp. 185-212). Dordrecht: Kluwer.
• Harel, G., ve Sowder, L. (1998). Students’ proof schemes: Results from an exploratory study. In A. H. Schoenfeld, J. Kaput ve E. Dubinsky (Eds.), Research in College Mathematics Education III (pp. 234-283). Providence, RI: AMS
• İskenderoğlu, T. (2010). İlköğretim matematik öğretmeni adaylarının kanıtlamayla ilgili görüşleri ve kullandıkları kanıt şemaları. Yayınlanmış Doktora Tezi. Trabzon: Karadeniz Teknik Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü. http://tez.yok.gov.tr/ adresinden edinilmiştir.
• İskenderoğlu, T., Baki, A. ve İskenderoğlu, M. (2010). Proof schemes used by first grade of preservice mathematics teachers about function topic. Procedia Social and Behavioral Sciences, 9, 531-536.
• İşleyen, T. (2013). Ortaöğretim öğrencilerinin sonsuzluk algıları. Kastamonu Eğitim Dergisi, 21(3), 1235-1252.
• Jirotková, D. ve Littler, G. (2003). Student's Concept of Infinity in the Context of a Simple Geometrical Construct. International Group for the Psychology of Mathematics Education, 3, 126-132.
• Karasar, N. (2007). Bilimsel araştırma yöntemleri (17.baskı). Ankara: Nobel Yayıncılık.
• Kidron, I. ve Dreyfus, T. (2014). Proof image. Educational Studies in Mathematics, 87(3), 297-321.
• Kolar, V. M. ve Cadez, T. H. (2012). Analysis of factors influencing the understanding of the concept of infinity. Educational Studies in Mathematics, 80(3), 389-412.
• Mamolo, A. (2009). Glimpses of infinity: intuitions, paradoxes, and cognitive leaps (Doctoral Thesis, Simon Fraser University, Burnaby, Canada). http://summit.sfu.ca/item/9325 adresinden 02.08.2018 tarihinde erişilmiştir.
• Mamolo, A. ve Zazkis, R. (2008). Paradoxes as a Window to Infinity. Research in Mathematics Education, 10(2), 167-182.
• Narlı, S. ve Baser, N. (2008). Cantorian Set Theory and teaching prospective teachers. International Journal of Environmental ve Science Education, 3(2), 99-107.
• Narlı, S. ve Narlı, P. (2012). Sonsuz Sayı Kümeleri Işığında İlköğretim Öğrencilerinin Sonsuzluk Algı ve Yanılgılarının Belirlenmesi, Buca Eğitim Fakültesi Dergisi, Sayı 33, sayfa: 123-137.
• Maria, K., Thanasia, M., Katerina, K., Constantinos, C. ve George, P. (2009). Teachers’ perceptions about infinity: a process or an object?. Proceedings of CERME 6 sunulan bildiri (28 January- 1 February, Lyon, France, ss.1771-1780).
• Martin, W. G. ve Wheeler, M. M.: (1987), ‘Infinity concepts among preservice elementary school teachers’, Proceedings of the 11th Conference of the International Group for the Psychology of Mathematics Education, France, pp. 362–368.
• McMillan, J. H. (2000). Educational research: Fundamentals for the consumer (4th ed.). New York: Longman.
• Monaghan, J. (2001). Young people’s ideas of Infinity. Educational Studies in Mathematics, Vol. 48, Nos. 2-3., 239-257.
• Moore, R.C. (1994). Making the transition to formal proof. Educational Studies in Mathematics, 27(3), 249—266.
• Oflaz, G., Bulut, N. ve Akcakin, V. (2016). Pre-service classroom teachers' proof schemes in geometry: a case study of three pre-service teachers. Eurasian Journal of Educational Research, 63, 133-152.
• Özmantar, F.( 2010). Sonsuzluk Kavramı: Tarihsel Gelişimi, Öğrenci Zorlukları ve Çözüm Önerileri. M.F. Özmantar, E. Bingölbali ve H.Akkoç (Ed.). Matematiksel Kavram Yanılgıları ve Çözüm Önerileri (ss. 151-180) İçinde, (2.Baskı). Ankara: Pegem Akademi.
• Pala, O. (2016). İlköğretim matematik öğretmen adaylarının sonsuz kümelerin denkliği konusundaki kanıt imajlarının incelenmesi. Yayınlanmamış Yüksek Lisans Tezi. İzmir: Dokuz Eylül Üniversitesi Eğitim Bilimleri Enstitüsü.
• Pala, O. ve Narlı, S. (2018). Matematik öğretmen adaylarının sonsuz kümelerin denkliği ile ilgili ispatlama yaklaşımları ve yaşadıkları güçlükler. Türk Bilgisayar ve Matematik Eğitimi Dergisi. Advance online publication. doi: 10.16949/turkbilmat.414818
• Pence, B. (1999). Proof schemes developed by prospective elementary prospective teachers enrolled in intuitive geometry. In F. Hitt ve M. Santos (Eds.), Proceedings of the Twenty-First annual meeting of the North American Chapter of the International Group for Psychology of Mathematics Education (Vol. 2, pp. 429-435). Columbus, OH: ERIC Clearinghouse for Science, Mathematics, and Environmental Education.
• Powers, R. A., Craviotto, C. ve Grassl, R. M. (2010). Impact of proof validation on proof writing in abstract algebra, International Journal of Mathematical Education in Science and Technology, 41(4), 501-514.
• Rucker, R., (1982), Infinity and the mind, Birkhauser Boston Inc., Cambridge, Ma.
• Sarı Uzun, M., ve Bülbül, A. (2013). Matematik öğretmen adaylarının kanıtlama becerilerini geliştirmeye yönelik bir öğretme deneyi. Eğitim ve Bilim, 38(169), 372-390.
• Sarı, M., Altun, A. ve Aşkar, P. (2007). Üniversite öğrencilerinin analiz dersi kapsamında matematiksel kanıtlama süreçleri: Örnek olay çalışması. Ankara Üniversitesi Eğitim Bilimleri Fakültesi Dergisi, 40(2), 295-319.
• Sbaraglı, S., (2006). Primary school teachers’ beliefs and change of beliefs on mathematical infinity. Mediterranean Journal for Research in Mathematics Education, 5(2), 49-76.
• Singer, F. M. ve Voica, C. (2008). Between perception and intuition: Learning about infinity. The Journal of Mathematical Behavior, 27(3), 188-205.
• Stylianides, G. J., ve Stylianides, A. J. (2009). Facilitating the transition from empirical arguments to proof. Journal for Research in Mathematics Education, 40 (3).
• Tall, D. O. (1980). The Notion of Infinite Measuring Number and its Relevance in The Intuition of Infinity. Educational Studies in Mathematics, 11, 271-284.
• Tall, D. (1998). The cognitived evelopmento f proof. Is mathematicapl rooffor all orfor some? Presentation at the conference of the University of Chicago School Mathematics Project, Chicago.
• Tall, D.O. (2001). Natural and formal infinities. Educational Studies in Mathematics, 48(2-3), 199-238.
• Tirosh, D. (1991). “The role of students’ intuition of infinity in teaching the Cantorian theory” in D. Tall (ed.) Advanced Mathematical Thinking, Kluwer, Dordrecht, pp. 199-214.
• Tirosh, D., ve Tsamir, P. (1996). The role of representations in students’ intuitive thinking about infinity. International Journal of Mathematics in Scienceve Technology, 27(1), 33-40.
• Tsamir, P. (1999). The transition from comparison of finite to the comparison of infinitesets: teaching prospective teachers. Educational Studies in Mathematics, 38, 209– 234.
• Tsamir, P. (2001). When The Same is not perceived as such: The case of infinite sets. Educational Studies in Mathematics, 48(2-3), 289-307.
• Tsamir, P. ve Dreyfus, T. (2002). Comparing infinite sets—a process of abstraction: The case of Ben. The Journal of Mathematical Behavior, 21(1), 1-23.
• Tsamir, P. ve Tirosh, D. (1999). Consistency and representations: The case of actual infinity. Journal for Research in Mathematics Education. 30 (2), 213-219.
• Turgut, M., Yenilmez, K. ve Uygan, C. (2013). Ortaokul ve lise matematik öğretmeni adaylarının ispat yapmaya yönelik görüşleri. Adıyaman Üniversitesi Sosyal Bilimler Enstitüsü Dergisi, 6(13), 227-252.
• Uygan, C., Tanışlı, D., ve Köse, N. Y. (2014). İlköğretim matematik öğretmeni adaylarının kanıt bağlamındaki inançlarının, kanıtlama süreçlerinin ve örnek kanıtları değerlendirme süreçlerinin incelenmesi. Turkish Journal of Computer and Mathematics Education, 5(2), 137-157.
• Ünan, Z., ve Doğan, M. (2011). Sonlu ve Sayılabilir Sonsuz Kümeler ve Sayılamayan Sonsuz Kümelerin Bir Modellemesi. NWSA: Education Sciences, 6(2), 1938-1950.
• Weber, K. (2001). Student Difficulty in Constructing Proof: The Need for Strategic Knowledge. Educational Studies in Mathematics, 48(1), 101–119.
• Weber, K. (2006). Investigating and teaching the processes used to construct proofs. In F. Hitt, G. Harel ve A. Selden (Eds.), Research in Collegiate Mathematics Education VI (pp. 197-232). RUMEC.
• Yıldırım, C. (2016), Matematiksel Düşünme, 12. Basım, İstanbul: Remzi Kitabevi.
• Yıldırım A. ve Şimşek H. (2013). Sosyal Bilimlerde Nitel Araştırma Yöntemleri (9. Baskı). Ankara: Seçkin Yayıncılık.
• Yin, R. (2009) Case Study Research: Design and Methods, fourth edition, Thousand Oaks, CA: Sage Publications.
• Zazkis, D. (2014). Proof-scripts as a lens for exploring students’ understanding of odd/even functions. The Journal of Mathematical Behavior, Volume 35, September 2014, pages 31-43.